二百多年前, 亚当·斯密用“看不见的手”来形容一个经济中许多当事人各自独立地追求自我利益的行为非但没有造成混沌，反而实际产生了一个社会最优状态。建立在数学基础上的福利经济学第一、第二基本定理是这一深刻思想的现代形式，但这首先依赖于均衡的存在。本文以数理模型说明福利经济学第一基本定理不成立，这也意味着阿罗-德布鲁一般均衡模型(Arrow-Debreu Model)不完善。
一
以下的经典数学结果依照阿罗、德布鲁五十年代的定义和证明, 本文只对表述方式作了一定的修改。
商品空间R是l维Euclid空间。
经济e = [ <Ｘi>, <≥i>, <Ｙj>, w ]
i=1,2,3.....,n；j=1,2,3.....m
是消费者i的消费集；
是生产者j的生产集；≥i是消费者i的偏好关系；w是经济的总禀赋。满足：
（1）Ｘi 凸，闭且下有界；
（2）≥i连续，凸；
（3）
（4）
凸，闭；
（5）
（6）
。
可行状态(
,
）满足:
且
。
帕累托效率（最优）状态（
）是可行状态， 且不存在可行状态(
)满足
有
, 并
有
。
瓦尔拉斯均衡（
,p*）是私有制经济下的一个均衡，其中消费者i以股份θij拥有企业j，满足：
（A）
在i的预算集{
}上使偏好≥i极大，
其中
。
(B)
使j的利润
极大；
(C)
，
是i的初始禀赋。
Arrow-Debreu一般均衡存在性定理：上述经济（条件（1）~（6）成立）中，如果任何一个消费者都没有充分满足的消费束，且在其消费集内部都有一个初始禀赋，那么上述定义的瓦尔拉斯均衡存在。
福利经济学第一基本定理：上述竞争均衡配置是帕累托效率的。
下面是一个说明福利经济学第一基本定理错误的模型。
[模型S] 生产–交换经济e。
商品：x, y, z, v, w。
当事人：消费者A，B；厂商X，Y。
偏好：A的偏好函数
B的偏好函数
。
生产函数：X的生产函数（α）
x1是投入；y1 ，z1是产出
Y的生产函数（β）
v2是投入；y2 ，w2是产出
初始禀赋: A，B各自完全拥有企业X ,Y。
A初始拥有xA =0.5,
, B初始拥有vB =1。
以上的假设均满足Arrow-Debreu模型条件。记瓦尔拉斯均衡状态为“*” 。
论证：如果本模型存在瓦尔拉斯均衡，根据
是否为0可分为以下两种情形：
(一)先设瓦尔拉斯均衡价格
≠0。显然有
设模型的另一个状态为
，并保持Y的生产和B的所得不变，则有
说明该状态优于瓦尔拉斯均衡状态*。
(二) 再设瓦尔拉斯均衡价格
=0，此时
，
因当事人均为“价格领受者”，
=0意味着y不被生产，
设模型的另一个状态为
并保持X的生产和A的所得不变，则有
说明该状态优于瓦尔拉斯均衡状态*。
综合以上情况，说明本模型的瓦尔拉斯均衡状态*如果存在，其必定是非帕累托效率的。
[结论]在符合Arrow-Debreu Model标准假设的情况下，瓦尔拉斯均衡未必是帕累托效率的，即福利经济学第一基本定理不成立。或者Arrow-Debreu一般均衡存在性定理不成立。